Własności całek eliptycznych niezupełnych 1. rodzaju thumb|Wykresy funkcji podcałkowych całek 1. rodzaju w postaci Legendre'a dla różnych wartości modułu Widoczna jest okresowość tych funkcji z okresem oraz dodatnia określoność, skąd wynika szereg ich własności.Wartości całek eliptycznych niezupełnych oraz można obliczyć numerycznie. Dostępne są też kalkulatory online (por. Linki zewnętrzne – na końcu artykułu).
Opierając się na definicji całek eliptycznych 1. rodzaju łatwo wykazać kolejno inne własności, słuszne dla dowolnej wartości zmiennej oraz dowolnej wartości modułu :
Tw. 1 Całki eliptyczne 1. rodzaju są funkcjami rosnącymi w całej dziedzinie dla dowolnej wartości modułu k.
Tw. 2
Tw. 3
Tw. 4
Tw. 5
gdzie: , - cała eliptyczna zupełna 1. rodzaju.
Komentarze:
1. Własność wyrażoną w Tw. 1 ilustrują pokazane tu wykresy całek dla i różnych wartości
2. Własności wyrażone w Tw. 2-5 można odczytać z wykresów funkcji podcałkowych całek eliptycznych 1. rodzaju:
(a) Dla dowolnej wartości modułu funkcje podcałkowe są okresowe z okresem ; ponieważ wartość całki jest równa wielkości pola powierzchni pod wykresem funkcji podcałkowej (por. interpretacja geometryczna całki Riemanna), to każde zwiększenie argumentu całki o powoduje wzrost wartości całki o identyczną wartość;