Stąd pochodzi nazwa tych funkcji.
Całki eliptyczne niezupełne Całki eliptyczne niezupełne to funkcje zdefiniowane poprzez całki oznaczone, gdzie całkowanie jest w granicach od 0 do przy czym jest dowolną liczbą rzeczywistą, Wyróżnia się dwie równoważne postacie tych całek – Jakobiego i Legendre’a.
Całki eliptyczne niezupełne w postaci Jacobiego Niech . Definiuje się całki: – całka eliptyczna niezupełna 1. rodzaju, – całka eliptyczna niezupełna 2. rodzaju, – dowolna liczba rzeczywista – całka eliptyczna niezupełna 3. rodzaju.
Całki eliptyczne niezupełne w postaci Legendre’a thumb|Wykresy całek eliptycznych niezupełnych 1. rodzaju dla dla wybranych wartości modułu . Widać, że całki te rosną ze wzrostem ; dla mają wartości ujemne, mimo że funkcje podcałkowe zawsze mają wartości dodatnie. Legendre zastosował podstawienie w całkach postaci Jacobiego, dzięki czemu całki te przyjęły prostszą postać: – całka eliptyczna niezupełna 1. rodzaju, – całka eliptyczna niezupełna 2. rodzaju, – dowolna liczba rzeczywista – całka eliptyczna niezupełna 3. rodzaju.
Parametr występujący w funkcjach nazywany jest modułem. Parametr całki nazywany jest charakterystyką – może przyjmować dowolne wartości niezależnie od innych parametrów.