Używa się także symbolu delty na oznaczenie pochodnej kowariantnej – zamiast średnika; np. zamiast wyrażenia
pisze się
(W poniższych wzorach kolorem oznaczono powtarzające się indeksy, po których należy wykonać sumowanie zgodnie z konwencją sumacyjną Einsteina).
Pochodna wektora kontrawariantnego
gdzie – symbole Christoffela II rodzaju.
Pochodna wektora kowariantnego
Pochodna tensora kontrawariantnego 2-go rzędu
Pochodna tensora kowariantnego 2-go rzędu
Pochodna tensora kontrawariantno-kowariantnego 2-go rzędu
Pochodna dowolnego tensora
Z powyższego widać, że:
pochodna kowariantna = pochodna cząstkowa po tej samej współrzędnej uzupełniona o dodatkowe człony w liczbie równej liczbie indeksów tensora, przy czym każdy indeks kontrawariantny wnosi dodatkowe człony ze znakiem każdy indeks kowariantny wnosi dodatkowe człony ze znakiem
Pochodna kowariantna skalara Pochodna kowariantna skalara jest równa jego pochodnej cząstkowej, tj.
Przykład
Powyższy wzór pozwala skrócić obliczenia.
(a) Obliczmy pochodną kontrawariantną iloczynu tensorów, korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu:
(w przedostatnim równaniu składniki oraz są równe – widać to jawnie, gdy zamieni się indeksy z np.