Dla zmiennych dyskretnych
Przykład
Niech
gdzie jest niezależna od i
Wówczas
Znając , najlepszym przewidywaniem jest po prostu .
Najważniejsze własności Liniowość
Wyciąganie znanych czynników
Jeżeli jest mierzalna względem , to
Prawo iterowanej wartości oczekiwanej
W szczególności
Niezależność. Jeżeli jest niezależna od , to
Założenia Niech będzie przestrzenią probabilistyczną z zadanym na niej prawdopodobieństwem warunkowym Niech również będzie zmienną losową,
gdzie jest mierzalna
jest zdarzeniem takim, że
Definicje Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem zdarzenia A nazywamy liczbę:
Jednak znacznie poręczniejszy w użyciu jest następujący, równoważny wzór:
Niech będzie σ-ciałem. Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem σ-ciała nazywamy zmienną losową spełniającą warunki:
1) jest -mierzalna,
2) dla dowolnego
Dla dowolnego σ-ciała i zmiennej losowej całkowalnej istnieje i jest ona wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do zdarzeń o prawdopodobieństwie zero.
Szczególny przypadek poprzedniego.
Niech gdzie i niech Wówczas warunkowa wartość oczekiwana pod warunkiem σ-ciała jest równa: