Własność ta nie jest zaskakująca, gdyż stanowi ona główną motywację definicji miary Radona.
Struktura metryczna Stożek wszystkich (dodatnich) miar Radona na może być wyposażony w strukturę zupełnej przestrzeni metrycznej poprzez zdefiniowanie odległości Radona między dwoma miarami wzorem
Metryka ta ma pewne ograniczenia. Na przykład przestrzeń probabilistycznych miar Radona na
nie jest ciągowo zwarta względem metryki Radona, tzn. nie ma gwarancji, że dowolny ciąg miar prawdopodobieństwa będzie miał podciąg zbieżny względem metryki Radona, co sprawia trudności w pewnych zastosowaniach. Aby uczynić z przestrzeń zwartą należy użyć metryki Wassersteina.
Zbieżność w metryce Radona pociąga słabą zbieżność miar:
ale implikacja odwrotna w ogólnym przypadku nie zachodzi. Zbieżność miar w metryce Radona nazywa się czasami silną zbieżnością w opozycji do słabej zbieżności.
Bibliografia
Bourbaki używa niestandardowej terminologii: „miara dodatnia” (positive measure) u Bourbakiego oznacza dodatnią miarę Radona, zaś „miara” (measure) odnosi się w istocie do różnicy dwóch miar Radona, która niekoniecznie musi być miarą ze znakiem.
Dieudonné również stosuje terminologię Bourbakiego dla miar i zawiera nieco przystępniej opracowane podejście Bourbakiego.
Linki zewnętrzne
Kategoria:Miary (teoria miary)