7 lipca 2015 roku szwajcarski klub FC Basel zapłacił za Islandczyka milion Euro i pozyskał zawodnika. 25 lipca zawodnik zadebiutował w lidze w meczu przeciwko Grasshoppers Zurych, a 5 sierpnia 2015 roku zdobył pierwszą bramkę dla klubu w meczu III rundy kwalifikacyjnej do Ligi Mistrzów (2015/2016) przeciwko Lechowi Poznań. Pod wodzą trenera Ursa Fischera klub z Bazylei został mistrzem kraju.
25 stycznia 2017 roku Bjarnasson został piłkarzem Aston Villa. W Anglii występował przez 2,5 roku w 2018 roku kwalifikując się z nim do baraży o Premier League, w którym Aston Villa uległa Fulham F.C. 17 października 2019 roku katarski klub Al-Arabi SC ogłosił pozyskanie reprezentanta Islandii. W Katarze grał niewiele i w związku z tym po zaledwie 3 miesiącach wrócił do Europy by zostać piłkarzem Brescia Calcio.
Kariera reprezentacyjna lewo|mały|Bjarnason w barwach reprezentacji Islandii U-21 Birkir w reprezentacji Islandii zadebiutował 29 maja 2010 w wygranym 4:0 meczu. Grał w drużynach juniorskich swojego kraju. 14 czerwca 2016 podczas mistrzostw Europy w meczu z Portugalią strzelił pierwszego gola w historii reprezentacji Islandii na Mistrzostwach Europy.