Całka Riemanna jest operatorem liniowym na przestrzeni funkcji całkowalnych w sensie Riemanna: jeżeli są R-całkowalne oraz to funkcja również jest całkowalna w sensie Riemanna i zachodziAddytywność wynika stąd, iż dla ustalonego podziału zachodzi równość sum częściowych która wraz ze zbieżnością sum po prawej stronie pociąga zbieżność sum po lewej stronie będących odpowiednio całką Riemanna z sumy funkcji oraz sumą całek Riemanna z funkcji i Podobnie dowodzi się jednorodności
Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
Jeśli jest całkowalna w sensie Riemanna, to jest ona całkowalna na dla dowolnego a funkcja dana wzorem
jest ciągła na i różniczkowalna w każdym punkcie ciągłości funkcji
Twierdzenie Newtona-Leibniza Jeśli jest ciągła, a jest jej dowolną funkcją pierwotną, to zachodzi wzór Newtona-Leibniza,
Wyprowadzenie wzoru