Ostatecznie pole powierzchni jest więc równe:
W ten sposób otrzymujemy wzór Newtona-Leibniza.
Charakteryzacja funkcji całkowalnych
Z równoważności konstrukcji funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna w sensie Darboux; w tej części artykułu funkcje całkowalne na jeden z tych dwóch sposobów będą nazywane po prostu funkcjami całkowalnymi. Niech dana będzie funkcja Każda funkcja ciągła jest całkowalnaFunkcja jest jednostajnie ciągła (jako określona na przedziale domkniętym) wynika, że dla dowolnego istnieje podział odcinka o oscylacjach stąd zatem funkcja jest D-całkowalna.; podobnie, gdy jest monotonicznaNiech dla ustalenia uwagi funkcja będzie niemalejąca; jeśli jest podziałem spełniającym dla dowolnie wybranego to
czyli
skąd wynika D-całkowalność funkcji .