bądź definiuje przestrzeń współrzędnych jako przestrzeń macierzy jednego z powyższych typów macierzy nad ciałem
Zwykle przedkłada się macierze jednokolumnowe nad macierze jednowierszowe nazywane odpowiednio wektorami kolumnowymi oraz wektorami wierszowymi, co ma swoje źródło w zastosowaniu macierzy typu do opisu we współrzędnych (ustalonych bazach) przekształceń liniowych Wówczas działaniu przekształcenia liniowego na wektorze i składaniu przekształceń odpowiada mnożenie macierzy w naturalnym porządku, działaniom na przekształceniach odpowiadają działania na macierzach gdzie są macierzami przekształceń liniowych a kolejne elementy macierzy jednokolumnowej pokrywają się z odpowiednimi elementami wektora
Na mocy własności przekształcenia liniowego zachodzi
gdzie oznaczają wektory bazy standardowej; wynika stąd, że w celu obliczenia -tej składowej obrazu wystarczy znać czyli obraz -tego wektora bazowego w przekształceniu W języku macierzy oznacza -tą kolumnę macierzy odpowiadającej Działanie można wtedy traktować jako
tzn. kombinację liniową składowych wektora kolumnowego i wektorów kolumnowych (por.