stopniu topologicznym odwzorowania, będącym uogólnieniem stopnia Brouwera na odwzorowania przestrzeni Banacha, podobnie jak twierdzenie Schaudera o punkcie stałym uogólnia twierdzenie Brouwera. Za swój wkład w rozwój matematyki, w 1938 Schauder i Leray zostali laureatami międzynarodowej Nagroda Malaxa. Fundator nagrody, bogaty rumuński przedsiębiorca, chciał uhonorować najgłośniejszy w owym czasie rezultat naukowy, którego nie obejmowałaby Nagroda Nobla. Z powodu wojny okazała się to być jedyna przyznana Nagroda Malaxa.

Podczas pierwszej okupacji sowieckiej Lwowa (1939–1941) Schauder był wykładowcą mechaniki teoretycznej i analizy wyższej na Wydziale Matematyczno-Przyrodniczym Uniwersytetu Lwowskiego. Zginął zastrzelony przez Niemców we Lwowie najprawdopodobniej we wrześniu 1943 podczas akcji wyłapywania Żydów. Jego żona Emilia i córka Ewa były przechowane przez polskie podziemie w lwowskich kanałach. Żona nie wytrzymała jednak trudnych warunków, sama ujawniła się Niemcom i została zesłana do obozu w Lublinie, gdzie zmarła. Córka uratowała się i po wojnie wyjechała do Włoch, gdzie zamieszkała u stryja.