W 1930 wprowadził pojęcie bazy w przestrzeni Banacha uogólniające pojęcie bazy ortonormalnej w przestrzeni Hilberta, a zwane obecnie bazą Schaudera. W tym samym roku opublikował pracę Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen (Studia Math. 2, 171-180, 1930), w której uogólnił twierdzenie Brouwera o punkcie stałym na przypadek przestrzeni Banacha - wynik ten znany jest pod nazwą twierdzenia Schaudera. W swej pracy badawczej Schauder rozwijał, wraz z innymi przedstawicielami Lwowskiej Szkoły Matematycznej nową podówczas dziedzinę matematyki, analizę funkcjonalną; i tak, jeszcze w 1930 roku sformułował i udowodnił kolejny wynik - twierdzenie o operatorze sprzężonym.
W 1932 otrzymał stypendium naukowe Fundacji Rockefellera, dzięki któremu mógł kontynuować swoje badania w Lipsku, a po dojściu do władzy w Niemczech Hitlera – w Paryżu. Paryski okres jego biografii okazał się najbardziej płodnym. W 1934 w czasopiśmie matematycznym Annales scientifiques de l'École normale supérieure opublikowano jego pracę napisaną wspólnie z matematykiem francuskim Jeanem Leray zatytułowaną Topologie et équations fonctionnelles dotyczącą zastosowania teorii przestrzeni Banacha do równań o pochodnych cząstkowych. Podana tam metoda badania istnienia rozwiązań równań różniczkowych oparta została na specjalnym narzędziu, tzw.