Wtedy: .
Zatem, możemy zapisać także:
i otrzymać stąd (podstawiając po prostu , powyżej): ,
więc: .
Tak więc też: ,
co natychmiastowo daje nam: ; a to z kolei oznacza po prostu, że: liczba nie jest podzielna przez . □
Pokazaliśmy zatem łącznie obie strony równoważności podanej w treści twierdzenia. To kończy pełen dowód tego twierdzenia. ∎
Dowód 2 (z użyciem teorii grup)
Niech oznacza (dowolną) liczbę pierwszą. Rozważmy zbiór wszystkich porządków liniowych, jakie można zadać na zbiorze ; przy czym jednocześnie ustalmy, że dwa porządki liniowe chcielibyśmy uznawać za jednakowe, jeśli są one sobie równe z dokładnością do dodawania modulo . To znaczy, dla jakichś elementów ze wspomnianego zbioru, chcielibyśmy po prostu utożsamiać porządek:
z porządkiem:
(dla każdego ), przy czym symbol w powyższym napisie oznacza dodawanie modulo .
Zauważmy, że zbiór wszystkich takich porządków liniowych, musi być dokładnie mocy . Jest tak, ponieważ każdej permutacji (wszystkich) elementów zbioru , odpowiada dokładnie jeden porządek liniowy;