Rozpatrzmy w tym ciele, następujące równanie: .
Naturalnie, powyższe równanie ma te same rozwiązania, co równanie: ; czyli (równoważnie) ma ono także te same rozwiązania, co równanie (rozkładając wielomian na czynniki liniowe): .
W ciele iloczyn niezerowych czynników jest niezerowy. Więc jedynymi rozwiązaniami powyższego równania są oraz (w ciele , dla różnego od 2, zachodzi nierówność ). Wynika stąd, że jedynymi elementami ciała , które są odwrotne w stosunku do siebie, są elementy oraz , stanowiące pojedynczą parę . Zatem, zbiór pozostałych niezerowych elementów ciała rozpada się na rozłączne pary elementów o iloczynie , gdzie .
Stąd wnioskujemy, iż iloczyn wszystkich, poza oraz , niezerowych elementów ciała, jako iloczyn iloczynów takich par, wynosi . To zaś oznacza w szczególności, że: .
Po przemnożeniu powyższej kongruencji przez czynnik , czyli właściwie po prostu przez czynnik (ponieważ ), oraz po dopisaniu nieszkodliwego czynnika do ciągu mnożeń po lewej stronie, otrzymujemy: ,
czyli liczba jest podzielna przez . □
Wykażemy teraz twierdzenie przeciwne (tzn. pokażemy dla każdego , że jeśli , to wtedy jest pierwsze).
W tym celu przypuśćmy (nie wprost), że jest złożoną liczbą naturalną. Wtedy istnieją takie dzielniki właściwe oraz liczby , że .