mają tę samą długość, a ich ilorazy są, w pewnym porządku, izomorficzne).
Dowód
Niech
będzie (podnormalnym) ciągiem właściwym zaś
będzie ciągiem kompozycyjnym Z twierdzenia Schreiera istnieją równoważne ciągi oraz grupy dla których jest zagęszczeniem a jest zagęszczeniem Usuwając w i powtarzające się ilorazy otrzymuje się dwa równoważne ciągi właściwe, oznaczane dalej oraz uzyskane ciągi są zagęszczeniami oraz ponieważ tak jak i są ciągami właściwymi.
Lemat Ciąg jest właściwy i jest zagęszczeniem Jednakże nie ma zagęszczenia właściwego, ponieważ jest ciągiem kompozycyjnym. Dlatego jest identyczny z Zatem ma zagęszczenie które jest równoważne z ciągiem kompozycyjnym Wówczas ilorazy izomorficzne z ilorazami kompozycyjnymi w są bez wyjątku grupami prostymi, a sam jest ciągiem kompozycyjnym (zgodnie z charakteryzacją ciągu kompozycyjnego). W ten sposób dowolny ciąg właściwy grupy ma zagęszczenie będące ciągiem kompozycyjnym.
Twierdzenie Jordana-Höldera Niech również będzie ciągiem kompozycyjnym Naśladując powyższe rozumowanie musi być identyczne z Wówczas oraz są równoważne. Zatem dowolne dwa ciągi kompozycyjne są równoważne.
Uwagi
Bibliografia
Linki zewnętrzne Jordan-Hölder theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-06].
Jordana-Höldera Kategoria:Ciągi grup