To zaś oznaczałoby, że istnieje nieskończony ściśle malejący łańcuch (ciąg) liczb naturalnych, co jest niemożliwe ze względu na zasadę dobrego uporządkowania (liczby naturalne są dobrze uporządkowane)..
Podjęte próby uproszczenia dowodu zaowocowały nowymi wynikami – jest to dość niespotykane zjawisko w matematyce zważywszy blisko 40-letni okres od publikacji Höldera. Były to twierdzenie Schreiera z 1928 roku (dowolne dwa ciągi grupy mają równoważne zagęszczenia) oraz lemat Zassenhausa z 1934 roku, który (co tym bardziej zaskakujące) powstał z kolei w celu uproszczenia dowodu twierdzenia SchreieraTwierdzenie uogólnia się na moduły, a nawet kraty modularne (dla których zachodzi lemat Zassenhausa pociągający twierdzenie Schreiera, z którego wynika twierdzenie Jordana-Höldera).. W artykule przedstawiono dowód wykorzystujący oba narzędzia.
Twierdzenie
Niech będzie grupą z ciągiem kompozycyjnym. Wówczas zachodzą Lemat Każdy właściwy ciąg (podnormalny) można zagęścić do ciągu kompozycyjnego, Twierdzenie Jordana-Höldera Dowolne dwa ciągi kompozycyjne są równoważne (tzn.