wtedy sprawdzenie, że jest grupą nie przedstawia większych problemów. Podobnie ma się rzecz z grupą ilorazową.
Okazuje się, że postawione zagadnienia są ze sobą blisko powiązane i dlatego odpowiedzi na nie zostaną przedstawione równocześnie.
Wprowadzenie
Niech będzie grupą, a będzie jej dowolną podgrupą, zaś oznacza zbiór warstw lewostronnych grupy względem czyli podzbiorów postaci dla Najbardziej naturalnym kandydatemNa zbiorze warstw lewostronnych grupy względem można określić działanie wzorem które nie daje struktury grupy, gdyż jest jedynie działaniem grupy na zbiorze Na zbiorze warstw, jak na każdym innym zbiorze, można określić działanie czyniące z niego grupę (pod założeniem aksjomatu wyboru; w istocie jest to równoważne aksjomatowi wyboru, zob. grupa wolna), jednakże w ogólności nie będzie miało ono żadnego związku z działaniem w na działanie w jest wybór elementów zgodnie ze wzorem
Należy jednak najpierw sprawdzić, iż tak zadane działanie jest dobrze określone na gdyż powyższy wzór wskazujący iloczyn wykorzystuje do tego elementy które mogą być przecież wybrane na wiele sposobów.