Podstawienie równania (2) do 3a-b prowadzi do następujących warunków: (4a) (4b)
Aby znaleźć dozwolone wartości podstawiamy i rozpisujemy wektory i w bazie
Wtedy równanie 4a rozkłada się na układ równań: (5a) (5b) (5c)
Będzie on miał rozwiązanie jeśli wyznacznik macierzy będzie równy zero: (6)
Po przekształceniu: (7)
Dla kryształów jednoosiowych, gdzie i można to równania przekształcić do: (8)
Pierwsza część równania definiuje sferę – tak rozchodzi się promień normalny, druga część to elipsoida – tak rozchodzi się promień nadzwyczajny.
Dla substancji dwuosiowych równanie (7) nie może być przekształcone w taki sposób i opisuje bardziej skomplikowaną parę powierzchni.
Przykłady substancji dwójłomnych Dane dla światła o długości fali około 590 nm (okolice światła żółtego),