Jeżeli więc chcielibyśmy, by szereg był zbieżny do funkcji w tym punkcie (i ogólnie dla ), to należałoby uzupełnić jej definicję przyjmując:
Wniosek ten jest zawarty w twierdzeniu Dirichleta, które orzeka, iż
Jeżeli funkcja jest w przedziale ograniczona i ciągła lub posiada nieciągłości najwyższej 1-go rodzaju (tj. spełniające warunek: w punkcie nieciągłości istnieją granice funkcji lewo- i prawostronna) i w skończonej liczbie, to (1) szereg Fouriera zbiega do funkcji w punktach ciągłości (2) w punktach nieciągłości szereg zbiega do wartości równej połowie sumy granic lewo- i prawostronnej funkcji w tych punktach.
Uwaga 1: Z powyższego przykładu widać, że funkcja rozwijana w szereg Fouriera może nie być zdefiniowana w punktach nieciągłości 1-go rodzaju - brak wartości funkcji w tych punktach nie przeszkadza w obliczaniu współczynników Fouriera ani nie ma wpływu na ich wartość (bowiem wartości całek nie zależą od wartości funkcji na zbiorze miary zero, a takiej miary jest zbiór punktów nieciągłości funkcji).
Uwaga 2: Powyższy przykład prowadzi do rozwiązania tzw. problemu bazylejskiego.