ich atutem jest, gdy są one dodatkowo przemienne.
Rodzaje Podstawowa definicja pierścienia, bywa rozwijana w wielu różnych kierunkach: pierścień bez dzielników zera – brak właściwych dzielników zera (zob. dalej):
pierścień z dzieleniem – dowolny niezerowy element ma element odwrotny (zakłada się, że pierścień ma jedynkę):
Element odwrotny do (względem mnożenia; w powyższym aksjomacie) oznacza się zwykle symbolami lub . Zbiór elementów odwracalnych pierścienia tworzy grupę ze względu na mnożenie (z jedynką jako elementem neutralnym; przemienną, jeśli pierścień jest przemienny) nazywaną także grupą multiplikatywną. W pierścieniu z dzieleniem jest .
Pierścień z jedynką bez dzielników zera nazywa się dziedziną. Ponieważ własność dzielenia pociąga za sobą brak dzielników zeraZ aksjomatu istnienia elementu odwrotnego wynika, że dla każdego istnieje element odwrotny . Gdyby pierścień miał dzielniki zera, to istniałyby takie , że . Lewostronne mnożenie stronami przez daje ; z istnienia elementu neutralnego mnożenia otrzymuje się sprzeczność z założeniem ., to każdy pierścień z dzieleniem jest pierścieniem bez dzielników zera, a więc dziedziną.