Zatem odwzorowanie dane wzorami: dla dla
jest homeomorfizmem.
Ponieważ nie należy do więc Zatem zawiera, zarówno punkt jak i punkt Pokazaliśmy więc, że należy do czyli udowodniliśmy domkniętość zbioru Ponieważ nasza rozmaitość jest spójna, to
Wynikają stąd natychmiast następujące twierdzenia: Dla dowolnych dwóch punktów n-rozmaitości spójnej (bez brzegu) istnieje w niej zbiór otwarty, homeomorficzny z zawierający te dwa punkty; Każda rozmaitość spójna (bez brzegu) jest topologicznie jednorodna, tzn. dla dowolnej, uporządkowanej pary jej dwóch punktów istnieje homeomorfizm tej rozmaitości na siebie, który pierwszy punkt przeprowadza na drugi; Każda rozmaitość spójna (bez brzegu) jest łukowo spójna (to wynika też z ogólnego twierdzenia Hahna-Mazurkiewicza, i to dla wszystkich spójnych rozmaitości, także tych z brzegiem).