Aby to pokazać, trzeba rozwiązać ogólne równanie Schrödingera
gdzie: – wektor położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej (dla pojedynczej cząstki wektor ten jest wektorem położenia w przestrzeni rzeczywistej), – energia potencjalna układu niezależna od czasu.
Niezależności od czasu jest tu istotna. (Nie można jej przyjąć w przypadku, gdy układ znajduje się w polu sił niezachowawczych – wtedy wielkość zależy od czasu, wtedy poniższe rozważania nie są słuszne).
Z teorii równań różniczkowych wynika, że równanie to ma rozwiązania w postaci
gdzie jest pewną stałą mającą sens energii całkowitej układu. Wstawiając tę postać rozwiązania do równania Schrödingera, otrzymuje się – po skróceniu obu stron równania przez czynnik – równanie Schrödingera niezależne od czasu
Równanie to jest łatwiejsze do rozwiązania niż równanie ogólne. Można je zapisać w postaci symbolicznej
gdzie wielkość jest nazywana operatorem Hamiltona.
Z powyższej postaci równania Schrödingera widać, że jego rozwiązanie polega na rozwiązaniu tzw. zagadnienia własnego dla operatora Hamiltona.