Wtedy jest martyngałem w stosunku do
Podmartyngały i nadmartyngały Dyskretny podmartyngał to ciąg całkowalnych zmiennych losowych spełniający warunek
Analogicznie, nadmartyngał spełnia warunek
Ogólniejsze definicje martyngałów podane wcześniej można przekształcić w odpowiadające im definicje pod- i nadmartyngałów w identyczny sposób.
Przykłady podmartyngałów i nadmartyngałów Każdy martyngał jest zarazem podmartyngałem oraz nadmartyngałem. Odwrotnie: każdy proces stochastyczny, który jest podmartyngałem i nadmartyngałem, jest martyngałem. Rozważmy ponownie gracza rzucającego monetą, gdy prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi Jeśli jest równe 1/2, gracz średnio nic nie zyskuje ani nie traci – jego majątek w funkcji czasu jest martyngałem. Jeśli jest mniejsze niż 1/2, gracz średnio częściej traci niż zyskuje – jego majątek w funkcji czasu jest nadmartyngałem. Jeśli jest większe niż 1/2, gracz średnio częściej zyskuje niż traci – jego majątek w funkcji czasu jest podmartyngałem. Dowolna funkcja wypukła określona na martyngale jest podmartyngałem (na podstawie nierówności Jensena). Przykładowo, kwadrat majątku gracza z pierwszego przykładu jest podmartyngałem (co wynika również z faktu że jest martyngałem). Podobnie, każda funkcja wklęsła określona na martyngale jest nadmartyngałem.
Kategoria:Procesy stochastyczne Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa