elementy przestrzeni dualnej nazywa się kowektorami.
Zauważmy, że podane wyżej kowektory odpowiadające funkcjonałom są unormowane do 1, jeżeli jako normę wprowadzi się standardowy iloczyn skalarny w przestrzeni dualnej Bazę tak unormowaną nazywa się bazą dualną ortonormalną.
Całkowanie jako funkcjonał Funkcjonały liniowe pojawiły się po raz pierwszy w analizie funkcjonalnej, która bada przestrzenie wektorowe funkcji, a typowym przykładem funkcjonału liniowego jest całkowanie.
Przykład:
Całka Riemanna jest funkcjonałem z przestrzeni funkcji ciągłych na przedziale [a, b] na zbiór liczb rzeczywistych, danym wzorem
Liniowość funkcjonału całkowego wynika z podstawowych własności całki:
Własności funkcjonałów
Każda forma liniowa jest albo trywialna (równa zeru dla każdego wektora) albo „na” (ciało skalarów), co wynika wprost z uwagi, iż może być traktowana jako jednowymiarowa przestrzeń liniowa – jej jedynymi podprzestrzeniami są podprzestrzeń trywialna lub niewłaściwa Formy liniowe o tym samym jądrze są proporcjonalne.
Forma liniowa jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jej jądro jest domknięte. Wartość bezwzględna dowolnej formy liniowej jest półnormą na przestrzeni liniowej, na której została określona.
Przestrzeń funkcjonałów