Powyższa własność bardzo upraszcza obliczanie wielomianów od macierzy. podobnie jak dla każdego rzutu (idempotentu). To uproszczenie rozciąga się również na nieskończone szeregi potęgowe, np. szereg Taylora. Dzięki nim można definiować różne funkcje na macierzach, m.in. eksponens. Zachodzi – wynikiem funkcji jest zwykłe przeskalowanie. Podobnie jest dla innych rzutów oraz dla macierzy skalarnych, ale przy tych ostatnich – z innym czynnikiem skali.
Macierz kwadratową wymiaru można mnożyć nie tylko przez inne macierze kwadratowe tego samego wymiaru. Aby mnożenie przez inną macierz było wykonalne, potrzeba i wystarcza, aby jeden z wymiarów macierzy wynosił Innymi słowy: dla każdego wykonalne są działania i W szczególności: kiedy ta macierz kwadratowa jest jednostkowa, czyli to taki iloczyn zawsze zwraca pozostałą, niekoniecznie kwadratową macierz:
Macierze kwadratowe można pierwiastkować. Pierwiastek kwadratowy z macierzy jednostkowej można oznaczyć przez i zdefiniować równaniem: Dla przypadku 2-wymiarowego to równanie jest spełnione przez macierze postaci:
oraz przez ich transpozycje, dla dowolnych liczb .