Oznacza to, że czyli jest sumą prostą jądra i obrazu Jeżeli jest skończeniewymiarowa, zaś jest jej podprzestrzenią liniową, to na mocy twierdzenia o rzędzie istnieje rzut dla którego (jeśli to rzutów określonych na o obrazie jest nieskończenie wiele).
Dla danych podprzestrzeni przestrzeni spełniających przekształcenie nazywa się rzutem na wzdłuż jeśli dla każdego zachodzi oraz
Jedynymi wartościami własnymi rzutu są zero i jedynka, tzn. widmo rzutu jest równe Niech będzie wektorem własnym stowarzyszonym z wartością własną rzutu Wówczas
a ponieważ to czyli skąd lub ; ponadto rzut jest diagonalizowalny i w szczególności (w ciele charakterystyki zerowej) jego ślad jest równy wymiarowi obrazuNiech będą bazą Wówczas zakładając, że otrzymuje się zatem dowolny niezerowy wektor w obrazie jest wektorem własnym z wartością własną W ten sposób wymiar przestrzeni własnej dla wartości własnej jest niemniejszy niż rząd Z twierdzenia o rzędzie wynika jednak, że (gdyż ) dlatego suma wymiarów dwóch podprzestrzeni jest równa wymiarowi całej przestrzeni Bazy obrazu i jądra tworzą razem bazę wektorów własnych tzn. stąd jest diagonalizowalny i wymiar przestrzeni własnej dla wartości własnej jest równy rzędowi Ponieważ ślad jest sumą wartości własnych (w ciele charakterystyki 0), to .