W latach 1946–1949 był członkiem czechosłowackiej reprezentacji w Pucharze Davisa. Był współtwórcą dwukrotnego awansu do półfinału tych rozgrywek w 1947 i 1948, jego najważniejszym partnerem w zespole był Vladimír Černík. W półfinale w 1948, w meczu z Australią, Drobný pokonał Adriana Quista ze stanu 0:2 w setach (przeciwnik miał również piłkę meczową) – ostatecznie triumfując 6:8, 3:6, 18:16, 6:3, 7:5.
W 1949 w trakcie turnieju w Gstaad zrezygnował z obywatelstwa Czechosłowacji (podobnie jak Černík) i przez 5 lat występował jako reprezentant Egiptu.
Pięciokrotnie występował w finale wielkoszlemowych mistrzostw Francji. Po porażce w finale w 1946, ponownie ulegał w decydującej rozgrywce w 1948 (Frankowi Parkerowi) i 1950 (Budge'owi Patty'emu). Przez kolejne 2 lata pozostawał niepokonany, w 1951 w finale zwyciężył Erika Sturgessa 6:3, 6:3, 6:3, a w 1952 nr 1. rankingu światowego, Franka Sedgmana 6:2, 6:0, 3:6, 6:4. W 1948 wygrał w Paryżu rywalizację deblową i mikstową, był ponadto w finale debla w 1950.