Funkcja jest -mierzalna (dla przeliczalnej liczby porządkowej ) jeśli dla każdego zbioru otwartego mamy, że Zauważmy, że funkcje ciągłe to dokładnie funkcje -mierzalne. Można sprawdzić, że jest borelowsko mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest -mierzalna dla pewnego Można udowodnić, że funkcja jest -mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą punktową funkcji ciągłych. Przez indukcję po liczbach porządkowych określamy kiedy funkcja jest klasy Baire’a : jest klasy Baire’a 0, jeśli jest ciągła, jest klasy Baire’a 1, jeśli nie jest ciągła, ale jest -mierzalna, jest klasy Baire’a jeśli nie jest ona żadnej klasy dla ale jest granicą punktową pewnego ciągu funkcji gdzie każda jest klasy Baire’a Okazuje się, że jeśli jest klasy Baire’a to jest ona -mierzalna. I na odwrót, jeśli jest -mierzalna, to jest ona klasy Baire’a dla pewnego
Zobacz też zbieżność jednostajna zbieżność monotoniczna zbieżność prawie jednostajna zbieżność prawie wszędzie zbieżność według miary
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Ciągi funkcyjne