Zbieżność punktowa ciągu funkcji jest jednym z narzędzi używanych do badań struktury porządnych funkcji pomiędzy przestrzeniami polskimi. Można się umówić, że funkcje ciągłe są bardzo porządne, ich granice punktowe też są porządne (choć mniej), granice punktowe tychżesz granic są troszkę mniej porządne itd. Tak zasugerowany kierunek badań porządnych funkcji z przestrzeni euklidesowej w liczby rzeczywiste był zapoczątkowany przez francuskiego matematyka René-Louisa Baire’a w 1899Baire, R.: Sur les fonctions de variables réelles. „Annali di Mat.” (3) 3 (1899), s. 1–123.. Tematyka ta była rozwinięta przez Henri Lebesgue’a w 1905Lebesgue, H.: Sur les fonctions représentables analytiquement. „Journ. de Math.” (6) 1 (1905), s. 139–216.. Polski matematyk, Stefan Banach, uogólnił te rozważania na przypadek przestrzeni polskich w 1931Banach, S.: Über analytisch darstellbare Operationen in abstrakten Räumen. „Fundamenta Mathematicae” 17 (1931), s. 283–295..
Poniżej są przestrzeniami polskimi, z kolei jest przestrzenią Baire’a.