Ostatecznie rozstrzygalność tego modelu została udowodniona przez Wandę Szmielew.

Podejście współczesne

Pojęcia pierwotne ze swej natury nie są formalnie definiowane w języku danej teorii, są po prostu symbolami, których własności opisują aksjomaty, założenia budujące podwaliny tej teorii matematycznej. Można jednak stworzyć tzw. model tej teorii, to znaczy zdefiniować takie obiekty matematyczne, które podstawione jako pojęcia pierwotneJedna teoria może mieć wiele modeli, nie jest to więc definiowanie pojęć pierwotnych, bo wówczas każde pojęcie pierwotne miałoby wiele wykluczających się definicji. spełniają wszystkie jej aksjomaty (pewniki Euklidesa, czy aksjomaty Hilberta). Aby obiekty te dało się zdefiniować, model musi opierać się na pojęciach spoza modelowanej teorii.

Takim powszechnie dziś przyjmowanym modelem geometrii euklidesowej jest tzw. przestrzeń kartezjańska opierająca się na aparacie analizy matematycznej.

Przestrzeń kartezjańska jest szczególnie wygodnym modelem przestrzeni euklidesowej, ponieważ pozwala na sprowadzenie wszelkich twierdzeń geometrycznych do postaci liczbowej, co zwykle upraszcza dowodzenie.