Zatem eiπ=-1. W szczególności, podstawiając otrzymuje się równość:

nazywaną też tożsamością Eulera (czasami wzorem Eulera).

Nie istnieją żadne znane dokumenty potwierdzające autorstwo Eulera; co więcej, była ona zapewne znana matematykom żyjącym przed nim.

„Najpiękniejszy wzór” Tożsamość Eulera nazywana jest często najpiękniejszym wzorem matematycznym. Wykorzystane są w niej trzy działania arytmetyczne: dodawanie, mnożenie i potęgowanie. Tożsamość łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych: liczbę 0, liczbę 1, liczbę π, liczbę e, liczbę i, jednostkę urojoną liczb zespolonych.

Dodatkowo każde z powyższych działań oraz każda ze stałych użyte są dokładnie raz, co więcej: wzór ten jest przedstawiony w zwyczajowej formie równania, którego prawa strona jest zerem.

Uogólnienie Tożsamość Eulera jest przypadkiem szczególnym ogólniejszej tożsamości, w której pierwiastki z jedynki -tego stopnia sumują się do dla

Tożsamość Eulera otrzymuje się przez podstawienie Powyższą równość można zapisać i w postaci:

ponieważ:

Zobacz też funkcja wykładnicza liczby zespolone logarytm naturalny stała Gelfonda

Przypisy

Bibliografia