Dowód. Niech oba ramiona kąta przecinają okrąg o środku A i promieniu r. Niech jedno ramię przecina okrąg w punktach C i D, a drugie w punktach B i D (jak na rysunku). Niech F będzie wierzchołkiem tego kąta, i są kątami środkowymi opartymi na łukach BD i CE. Ponadto kąty oraz są kątami wpisanymi opartymi odpowiednio na łukach BD i CE, czyli i Z twierdzenia o kącie zewnętrznym wynika, że czyli
co kończy dowód w tym przypadku.
W pozostałych przypadkach (kąt o jednym ramieniu stycznym, a drugim siecznym oraz kąt o obu ramionach stycznych do okręgu) dowód jest taki sam. Wykorzystuje twierdzenie o kącie zewnętrznym trójkąta i łatwo go odtworzyć, posługując się poniższymi rysunkami.
Twierdzenie 2 thumb|250px|Kąt o wierzchołku F wewnątrz okręgu
Jeśli wierzchołek kąta leży wewnątrz okręgu, to jego miara jest równa połowie sumy kątów środkowych opartych na łukach wyznaczonych przez ten kąt oraz przez kąt do niego wierzchołkowy.
Dowód. Ramiona kąta γ i ich przedłużenia przecinają okrąg odpowiednio w punktach C i E oraz D i B.