Macierze te zależą w ogólności od parametrów rzeczywistych i tworzą przestrzeń wektorową – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru zależą od parametrów (warunek daje jedno dodatkowe równanie, które pozwala obliczyć jeden z parametrów w zależności od pozostałych) i tworzą podprzestrzeń, która jest algebrą Liego Powyższe stwierdzenia omówimy na przykładach.
Macierze hermitowskie 2 × 2 – mają ogólną postać
gdzie:
– sprzężenie zespolone liczby
Widać, że macierze te w ogólności zależą od 4 parametrów i tworzą przestrzeń wektorową 4- wymiarową.
Macierze bezśladowe tworzą podprzestrzeń – wymiarową, która jest algebrą Liego su(2). Bazą tej przestrzeni są np. macierze Pauliego.
Macierze hermitowskie 3 × 3 – mają ogólną postać
Macierze te zależą w ogólności od parametrów rzeczywistych (3 liczby na przekątnej, 3 części rzeczywiste i 3 zespolone liczb ) i tworzą przestrzeń wektorową – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru zależą od parametrów i tworzą podprzestrzeń -wymiarową, która jest algebrą Liego su(3). Generatorami tej algebry są np. macierze Gell-Manna.
Własności Macierz hermitowska na głównej przekątnej ma wyrazy rzeczywiste. Macierz hermitowska ma rzeczywiste wartości własne.
Dowód: Niech będzie wartością własną macierzy tj.