Czyli
Jeśli mamy dwa punkty na sferze, będące końcami centralnych wektorów x, y, to korzystając z pojęcia iloczynu wektorowego możemy wyznaczyć wektor prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na x, y jako Zgodnie z definicją długość takiego iloczynu wektorowego jest równa sinusowi kąta między wektorami x, y, czyli sinusowi długości odcinka
Rozważmy wyrażenie:
Z jednej strony powyższy iloczyn skalarny ma wartość równą iloczynowi długości obu czynników oraz cosinusowi kąta między obu czynnikami, czyli kąta między płaszczyzną rozpiętą na wektorach x, z oraz płaszczyzną rozpiętą na wektorach z, y. Ten ostatni kąt jest oczywiście równy
Z drugiej strony, na mocy tożsamości Lagrange’a dostajemy:
Twierdzenie cosinusów dla czworościanu Jeśli w czworościanie o wierzchołkach a, b, c, d przez oznaczymy pola ścian leżących naprzeciw wierzchołków odpowiednio a, b, c, d, z kolei przez oznaczymy kąty krawędziowe między odpowiednimi ścianami to
Twierdzenie cosinusów dla kąta trójściennego Jeśli są kątami płaskimi przy wierzchołku S czworścianu SABC odpowiednio między ramionami: SB i SC, SA i SC, SA i SB, zaś kątami dwuściennymi leżącymi naprzeciw nich, czyli kątami krawędziowymi SA, SB, SC. Wówczas zachodzą wzory (I twierdzenie cosinusów):
oraz wzory (II twierdzenie cosinusów):
Zobacz też twierdzenie Dijkstry o trójkątach
Przypisy
Linki zewnętrzne [dostęp 2024-03-07].
Kategoria:Twierdzenia trygonometrii Cosinusów