Otóż, jeśli K oznacza krzywiznę Gaussa powierzchni oraz to otrzymamy następujący wzór:
Dla K>0 mamy trygonometrię na sferze o promieniu Dla K<0 mamy trygonometrię na pseudosferze o promieniu równym Ponieważ jest tutaj urojony więc można też ten przypadek traktować jak sferę o promieniu urojonym Niekiedy sugestywnie ujmuje się to następująco: trygonometria hiperboliczna jest trygonometrią sferyczną na sferze o promieniu urojonym.
Twierdzenie cosinusów dla sfery thumb|200px Jeśli a,b,c oznaczają długości odcinków sferycznych, γ jest kątem między odcinkami-bokami a,b to zachodzi wzór
Dowód Nazwijmy wektorem centralnym taki, który ma początek w środku sfery jednostkowej.
Długość odcinka sferycznego jest kątem między centralnymi wektorami, których końce są punktami ograniczającymi odcinek sferyczny.
Kąt między dwiema prostymi sferycznymi, czyli kołami wielkimi jest kątem między płaszczyznami zawierającymi te koła wielkie a ten z kolei jest kątem między wektorami prostopadłymi do obu tych płaszczyzn.
Jeśli mamy dwa końcowe punkty odcinka sferycznego będące końcami centralnych wektorów x, y to Iloczyn skalarny xy tych wektorów jest równy cosinusowi kąta między wektorami x, y, czyli cosinusowi długości tego odcinka.