Czyli można wymodelować całą klasyczną, aksjomatycznie wprowadzoną geometrię. Każda taka definicja wymaga jednak dowodu zgodności własności definiowanego pojęcia z aksjomatyką klasycznej geometrii. Aby móc w pełni kojarzyć powyższy wzór cosinusów z klasycznym twierdzeniem cosinusów należy o wyrażeniu udowodnić co najmniej: funkcja istnieje, tzn. (nierówność Schwartza), wtedy i tylko wtedy, gdy są liniowo zależne, jest addytywna dla trzech wektorów liniowo zależnych. Jeśli leży „między” wektorami to miara sumy kątów jest sumą miar. warunek odpowiada prostopadłości prostych (np. każde dwa kąty proste są przystające, przez dowolny punkt przechodzi dokładnie jedna prosta prostopadła do danej, prostopadła do prostopadłej jest równoległa itd.), funkcja jest niezmiennikiem izometrii przestrzeni unitarnej (to jest łatwe) i odwrotnie – równość tej funkcji dla dwóch par wektorów (z dokładnością do ich normy) gwarantuje istnienie izometrii.
Dodajmy jeszcze, że w przestrzeni afinicznej skojarzonej przestrzenią unitarną przybrałoby to dla pewnych punktów następującą postać:
Uwaga dotycząca dowodów twierdzenia cosinusów W matematyce „szkolnej” postępuje się dokładnie odwrotnie. W niej geometrię uprawia się na bazie klasycznej aksjomatyki.