której współczynniki są określone równaniami (f), w których funkcja zostaje zastąpiona przez kolejne funkcje . Funkcje te nazywane są funkcjami bazowymi Lagrange’a.
Przykład 1 Funkcję można aproksymować w przedziale funkcją liniową przyjmując, że
i definiując dwa funkcjonały, na przykład w postaci iloczynów skalarnych
Warunki (f) przyjmują postać
Dla obliczenia współczynników otrzymujemy układ równań
Przykład 2 Aproksymację funkcji określonej w przedziale można zastąpić aproksymacją funkcji w przedziale standardowym Bazę aproksymacji zbudujemy w postaci uogólnionego wielomianu stopnia
utworzonego z funkcji dowolnych, ale wzajemnie ortogonalnych, spełniających w przedziale standardowym, warunki gdy
Funkcjonał występujący w (f) przyjmiemy w postaci
Mamy również
Układ równań (f) redukuje się do najprostszej postaci
Funkcjonały mają przykładowo wartości gdy funkcje są wielomianami Legendre’a stopnia gdy , gdy funkcje są wielomianami Czebyszewa stopnia
Zdefiniowanie najlepszej aproksymacji W przestrzeniach unormowanych Niech dana będzie przestrzeń liniowa z normą i niech będzie podprzestrzenią liniową skończonego wymiaru.