Tw. o przestrzeni liniowej funkcji całkowalnych z kwadratem Zbiór wszystkich funkcji mierzalnych całkowalnych z kwadratem, w sensie Lebesgue’a, stanowi przestrzeń liniową, która jest przestrzenią Hilberta – jest to tzw. przestrzeń L2, w której funkcje równe prawie wszędzie są ze sobą utożsamiane (formalnie L2 jest przestrzenią ilorazową przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem przez podprzestrzeń funkcji, które znikają prawie wszędzie).
Funkcje tego rodzaju są szczególnie użyteczne w mechanice kwantowej, ponieważ funkcje falowe muszą być całkowalne z kwadratem na całej przestrzeni, aby teoria dawała sensowne fizycznie rozwiązania.
Całkowalność w sensie Lebesgue’a
Dla danego zbioru z określoną na nim σ-algebrą i miarą określoną na rzeczywista funkcja jest całkowalna, jeżeli tak jej część dodatnia jak i ujemna są funkcjami mierzalnymi o skończonej całce Lebesgue’a.