Jeśli s = 0, to t ≠ 0 bez względu na to jaki możliwy ruch został wykonany.
Dowód: Jeśli żaden ruch nie jest możliwy, wówczas lemat jest pusto spełniony (pierwszy gracz nie może wykonać ruchu). W przeciwnym przypadku, dowolny ruch w k-tej kupce prowadzi do t = xk ⊕ yk na podstawie (*). Ta liczba jest różna od zera, gdyż xk ≠ yk.
Lemat 2. Jeśli s ≠ 0, to istnieje ruch taki, że t = 0.
Dowód: Niech d będzie indeksem pozycji najstarszego niezerowego bitu w binarnej reprezentacji liczby s. Wybieramy k tak aby bit na pozycji d liczby xk był niezerowy (takie k musi istnieć – w przeciwnym przypadku bit na pozycji d liczby s wynosiłby 0). Kładąc yk = s ⊕ xk twierdzimy, że yk < xk. Istotnie, gdyż wszystkie bity na lewo od pozcyji d są te same w xk i yk, bit na pozycji d ma wartość zero (powoduje to zmniejszenie o wartości 2d). Każda zmiana bitów powoduje zmianę wartości liczby o 2d-1. Gracz pierwszy może zatem wykonać ruch na kupce xk zabierając xk - yk pionków, wówczas t = s ⊕ xk ⊕ yk (z (*)) = s ⊕ xk ⊕ (s ⊕ xk) = 0.
Gra z limitem elementów Jest to odmiana gry z ustaloną maksymalną liczbą elementów (k), które można pobrać w jednym ruchu.