Każdy ruch przeciwnika psuje tę parzystość, co prowadzi do jego przegranej.
Dowód zwycięskiej strategii Istnienie optymalnej strategii wykazał Charles L. BoutonBouton, C. L. Nim, a Game with a Complete Mathematical Theory Ann. Math. Princeton 3, ss. 35-39..
Twierdzenie. W klasycznej grze nim gracz wykonujący ruch jako pierwszy ma zwycięską strategię wtedy i tylko wtedy gdy nim-suma liczebności kupek jest niezerowa. W przeciwnym przypadku drugi gracz ma zwycięską strategię.
Dowód: Zauważmy, że nim-suma ( ⊕ ) jest działaniem łącznym i przemiennym jak dodawanie arytmetyczne (+) i spełnia warunek x ⊕ x = 0.
Niech x1, ..., xn oznaczają liczebność kupek przed wykonaniem ruchu natomiast y1, ..., yn oznaczają odpowiednio liczebność po wykonaniu ruchu. Połóżmy s = x1 ⊕ ... ⊕ xn i t = y1 ⊕ ... ⊕ yn. Jeśli ruch został wykonany na k-tej kupce, to otrzymujemy xi = yi dla każdego i ≠ k oraz xk > yk. Z własności powyżej wspomnianych otrzymujemy:
t = 0 ⊕ t = s ⊕ s ⊕ t = s ⊕ (x1 ⊕ ... ⊕ xn) ⊕ (y1 ⊕ ... ⊕ yn) = s ⊕ (x1 ⊕ y1) ⊕ ... ⊕ (xn ⊕ yn) = s ⊕ 0 ⊕ ... ⊕ 0 ⊕ (xk ⊕ yk) ⊕ 0 ⊕ ... ⊕ 0 = s ⊕ xk ⊕ yk
(*) t = s ⊕ xk ⊕ yk.
Twierdzenie dowodzi się indukcyjnie ze względu wartość n na podstawie następujących dwóch lematów:
Lemat 1.