Definicja ciągu funkcyjnego. Zbieżność zwykła Ciąg funkcyjny określony na podzbiorze zbioru liczb rzeczywistych lub zespolonych jest to przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej dokładnie jednej funkcji określonej na tym zbiorze.
Zamiast piszemy też
Przykład 1: Ciąg funkcyjny
- poszczególne funkcje ciągu są zależne od wartości indeksu ; - liczba rzeczywista / zespolona.
Przykład 2: Zbieżność ciągu funkcji ciągłych do funkcji nieciągłej Dany jest ciąg funkcji
Zbadamy zbieżność ciągu dla różnych wartości
a) - miejsca zerowe funkcji
Wtedy: oraz , czyli
b) - maksima funkcji
Wtedy np: oraz , czyli
Identyczny wynik otrzymamy dla wszystkich punktów, gdzie funkcja sinus przyjmuje wartość równą 1.
c) Analogicznie dla punktów, gdzie funkcje mają minima równe -1: otrzymamy w granicy ciągu funkcyjnego wartość -1.
d)
Wtedy: oraz
Otrzymane tu wyniki są zilustrowane na wykresie, przy czym pokazano tam tylko ciąg funkcyjny i funkcję graniczną dla , nie widać więc części, gdzie funkcje ciągu i funkcja graniczna przyjmują wartości ujemne.