Jeśli zaś zbieżność ciągu nie jest jednostajna, to powyższe własności poszczególnych funkcji mogą nie występować w funkcji . mały|250x250px|Granica ciągu funkcji ciągłych nie musi być ciągła: ciąg funkcji (zaznaczone na zielono i niebiesko) zbiega punktowo w całej dziedzinie, ale graniczna funkcja jest nieciągła (zaznaczona na czerwono). Różnica między zbieżnością jednostajną a zbieżnością punktową nie była w pełni doceniana we wczesnej historii rachunku różniczkowego i całkowego, co prowadziło do przypadków błędnego rozumowania. Koncepcja zbieżności jednostajnej została po raz pierwszy sformalizowana przez Karla Weierstrassa.
Rys historyczny W 1821 roku Augustin-Louis Cauchy opublikował dowód, że zbieżna suma funkcji ciągłych jest zawsze ciągła. Dirichlet zanalizował argumenty Cauchy’ego, znalazł błąd i wskazał dodatkowe założenie potrzebne dla ciągłości funkcji granicznej. W 1906 Maurice Fréchet opublikował metrykę zbieżności jednostajnej (chociaż twierdził on, że ta metryka była już rozważana wcześniej przez Karla Weierstrassa). Zbieżność punktowa szeregu funkcyjnego nie gwarantuje, iż granica tego ciągu będzie funkcją stałą. Warunkiem wystarczającym jest zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego.