Wykażemy indukcyjnie, że przedziały zawierają nieskończenie wiele elementów ciągu
Ponieważ dla mamy baza indukcji jest prawdziwa.
Załóżmy zatem, że dla pewnego przedział zawiera nieskończenie wiele elementów ciągu Jeśli zbiór jest nieskończony, to i wówczas czyli zawiera nieskończenie wiele elementów rozważanego ciągu.
Jeśli zbiór nieskończony nie jest, to musi być nieskończony na mocy założenia indukcyjnego i wówczas oraz co dopełnia dowód kroku indukcyjnego.
Niech teraz i niech jest podciągiem ciągu Ciąg jest rosnący i ograniczony, więc posiada supremum Pokażemy, że
Niech w tym celu i niech będzie takie, że oraz niech będzie takie, że
Biorąc teraz mamy:
Tym samym wykazaliśmy zbieżność ciągu do
Zauważmy, że jest także granicą ciągów oraz
Uwagi
Przypisy
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne Bolzano-Weierstrass theorem, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-07-09]. [dostęp 2022-10-09].
B