W tym wypadku deklarujemy, że i wybieramy tak że
Po przeprowadzeniu powyższej konstrukcji zauważamy, że ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, a więc wobec zupełności prostej rzeczywistej jest on zbieżny.
Drugi Załóżmy, że jest ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych i niech i niech
Niech teraz będzie rodziną podprzedziałów przedziału indeksowaną skończonymi ciągami zero-jedynkowymi określoną wzorami: oraz i
gdzie
Konstrukcja rodziny przedziałów
Łatwo zauważyć, że długość przedziału równa jest gdzie jest długością ciągu oraz dla dowolnych dwóch
wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg jest początkiem ciągu
Łatwo też widać, że istnieje nieskończony rosnący ciąg indeksów dla którego każdy z przedziałów zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu
Niech teraz oraz Wówczas jest ściśle rosnący oraz
Pokażemy, że ciąg jest zbieżny do gdzie
Niech zatem i niech będzie takie, że oraz niech będzie takie, że
Biorąc teraz mamy:
Tym samym wykazaliśmy zbieżność ciągu do
Trzeci Niech będzie takim ciągiem jak do tej pory, niech i niech
Niech dalej oraz niech jeśli zbiór jest nieskończony oraz w przeciwnym wypadku.