Niech będzie całkowicie ograniczoną przestrzenią metryczną (np. jest ograniczonym przedziałem liczb rzeczywistych). Wówczas każda funkcja jednostajnie ciągła jest ograniczona. Dowód. Dla niech będzie takie, iż dla dowolnych spełniających warunek zachodzi oszacowanie Niech będzie ciągiem kul otwartych o promieniu których suma jest równa Niech będzie środkiem Niech Ustalmy Wówczas dla pewnego Ostatecznie
co dowodzi ograniczoności
Warunki wystarczające Każda funkcja spełniająca warunek Lipschitza jest jednostajnie ciągła. Dowód. Niech będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą Niech oraz niech dany będzie Gdy to o ile tylko
Warunek Lipschitza jest warunkiem wystarczającym, ale nie koniecznym ciągłości jednostajnej. Przykładem funkcji jednostajnie ciągłej, która nie spełnia warunku Lipschitza, jest pierwiastek kwadratowy: na przedziale
Każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła (twierdzenie Heinego-Cantora).
W szczególności, każda funkcja określona i ciągła na przedziale domkniętym jest jednostajnie ciągła. Na przedziale otwartym już tak nie musi być, na przykład funkcja na przedziale (0, 1) jest ciągła, ale nie jest jednostajnie ciągła.