Jeśli stosuje się inną definicję wyznacznika, to powyższe rozwinięcie w sumę jest twierdzeniem nazywanym rozwinięciem Laplace’a. Powyższa definicja opiera się na rozwinięciu wzdłuż -tej kolumny, równoważnie można definiować wyznacznik na bazie rozwinięcia wzdłuż -tego wiersza.

Definicja permutacyjna Niech jest macierzą. Wówczas:

gdzie oznacza zbiór wszystkich permutacji zbioru zaś oznacza liczbę inwersji danej permutacji

Przykładowo składnik w wyznaczniku czwartego stopnia ma ujemny znak, gdyż permutacja indeksów

ma trzy inwersje, mianowicie: i skąd oraz

Definicja permutacyjna ma swoje uogólnienie w postaci:

gdzie jak wyżej.

Przykładowo dla otrzymujemy wyżej zdefiniowany wyznacznik, zaś dla otrzymujemy permanent.

Definicja aksjomatyczna Niech będzie macierzą, której kolejne kolumny są oznaczone Każda z tych kolumn jest wektorem z przestrzeni liniowej

Wyznacznikiem macierzy jest funkcja spełniająca:

Z powyższej definicji wynika, że wyznacznik jest antysymetrycznym odwzorowaniem wieloliniowym. Dowodzi się, że istnieje dokładnie jedno takie odwzorowanie spełniające powyższe aksjomaty.