Rozwój algebry abstrakcyjnej pozwolił uogólnić wyznaczniki do macierzy z wartościami będącymi elementami pierścienia przemiennego.
Oznaczenia Wyznacznik macierzy kwadratowej o wyrazach oznaczany jest jako lub lub .
Dla macierzy:
stosuje się rozwinięte oznaczenia wyznacznika:
lub
Notacja jest powszechnie używana (zwłaszcza jej rozwinięta forma), chociaż może prowadzić do nieporozumień, ponieważ podobnego zapisu używa się również dla norm macierzy i wartości bezwzględnej.
Definicje wyznacznika Wyznacznik może być zdefiniowany na kilka równoważnych sposobów. Niezależnie od tego wyznacznik można traktować jako funkcję nie samej macierzy, a jej współczynników
Jest on wówczas wielomianem zmiennych stopnia o współczynnikach, które są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi.
Definicja rekurencyjna
Oznaczamy macierz czyli macierz kwadratową n-stopnia o elementach z pierścienia przemiennego Wyznacznikiem macierzy nazwiemy element pierścienia spełniający: jeśli to jeśli to gdzie jest dowolną liczbą naturalną z zakresu a przez oznaczamy macierz stopnia powstałą z macierzy poprzez skreślenie -tego wiersza i -tej kolumny (por. minor).