Przekątna równania jest osią symetrii między każdą krzywą funkcji pierwiastkowej a krzywą jej funkcji odwrotnej.
Jeżeli , są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, zaś , są dodatnimi liczbami całkowitymi, to wówczas:
jeśli dodatkowo, jest:
gdy to: Pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest albo liczbą naturalną, albo niewymiernąDowód nie wprost. Niech dla pewnej liczby naturalnej jej pierwiastek będzie niecałkowitą liczbą wymierną; wówczas i istnieją takie liczby naturalne, które mnożone przez dają liczby naturalne. Najmniejsza z nich (istnieje na mocy zasady dobrego uporządkowania) będzie oznaczana literą niech ponadto która jest mniejszą od Wtedy jest liczbą całkowitą, gdyż wyrazy sumy są iloczynami liczb całkowitych, w ten sposób przeczy minimalności co kończy dowód.; np. dla liczby naturalnej 2:
Im większy stopień pierwiastka z liczby mniejszej od , tym większa jest jego wartość, która zmierza do 1 wraz ze wzrostem stopnia pierwiastka, np. Im większy stopień pierwiastka z liczby wiekszej od , tym mniejsza jest jego wartość, która zmierza do wraz ze wzrostem stopnia pierwiastka, np.