Współrzędnymi biegunowymi (postacią trygonometryczną) tego punktu są a współrzędnymi prostokątnymi (postacią algebraiczną) para W ten sposób Zależność ta nazywana jest wzorem Eulera i łączy ona algebrę z trygonometrią poprzez liczby zespolone.
Rozwiązaniem równania są całkowite wielokrotności
Ogólniej, jeśli to każde rozwiązanie może być uzyskane przez dodanie całkowitej wielokrotności do
Zespolona funkcja wykładnicza jest zatem funkcją okresową o okresie głównym
Ostatecznie:
Ze wzoru Eulera wynika też, że funkcje trygonometryczne sinusa i cosinusa spełniają zależności:
Przed odkryciem liczb zespolonych funkcje sinusa i cosinusa definiowano geometrycznie, powyższe wzory upraszczają skomplikowane wzory na sumę kątów funkcji trygonometrycznych do prostego wzoru na potęgowanie:
W ten sposób potęgowanie wykładników zespolonych sprowadza wiele problemów trygonometrycznych do zagadnień algebraicznych.
Potęgę oblicza się jako gdzie czynnik rzeczywisty jest modułem, zaś to kierunek (wraz ze zwrotem, nazywany jest argumentem) liczby
Potęga zespolona
Jeżeli jest dodatnią liczbą rzeczywistą, a dowolną liczbą zespoloną, to potęgę definiuje się wzorem
gdzie jest jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania