Narzędzia analitycznej teorii liczb Twierdzenia abelowskie i tauberowskie Ze względu na częste występowanie w analitycznej teorii liczb obiektów takich, jak szeregi liczbowe, często stosuje się wobec nich twierdzenia abelowskie i tauberowskie. Grupa twierdzeń nazywanych abelowskimi – na cześć Nielsa Henrika Abela – mówi o tym, w jaki sposób zachowują się szeregi sumujące elementy danego ciągu w określony sposób, jeśli znamy asymptotyczne zachowanie wyrazów tego ciągu. Grupa twierdzeń odwrotnych, nazwanych po Alfredzie Tauberze, opisuje zachowanie ciągu przy znajomości zachowania szeregu.
Przykładowo, twierdzenie tauberowskie Harolda N. Shapiro mówi, że jeśli
to
Klasycznymi wnioskami z twierdzenia Shapiro są zależności
oraz
Szeregi Dirichleta Pojęcie szeregu Dirichleta dotyczy w ogólności wszystkich szeregów postaci
gdzie jest liczbą zespoloną, W naturalny sposób, podczas badania szeregów Dirichleta, możemy definiować ich mnożenie z wykorzystaniem splotu Dirichleta,
Iloczyn Eulera Choć oryginalne twierdzenie Eulera dotyczyło jedynie funkcji zeta na obszarze jej zbieżności, wnioski Eulera można uogólnić na wszystkie zbieżne szeregi postaci
gdzie jest całkowicie multiplikatywną funkcją arytmetyczną, a – pewną liczbą zespoloną, przy czym Szeregi te można przedstawić równoważnie, w postaci iloczynu Eulera