(1) Wykonujemy transformatę Laplace'a na obu stronach równania różniczkowego; korzystając z liniowości transformaty otrzymuje się:
(2) Korzystając ze wzorów na transformaty pochodnej funkcji poszczególnych rzędów po prostych rachunkach otrzymuje się:
- powyższy wzór przedstawia transformatę Laplace'a szukanej funkcji . (3) Transformatę Laplace'a rozkłada się na ułamki proste i odczytuje się z tabeli transformat funkcje pierwotne poszczególnych ułamków - w ten sposób otrzymuje się rozwiązanie.
Uwaga:
Ostatni krok jest analogiczny do sposobu znanego z teorii całek: funkcję pierwotną znajduje się najprościej na podstawie tabeli, zestawiającej funkcje podcałkowe i odpowiadające im funkcje pierwotne.
Przykład Znaleźć funkcję spełniającą równanie
z warunkiem początkowym
Rozwiązanie: Znajdujemy transformatę Laplace'a obu stron równania
i korzystając z Tabeli transformat dla pochodnej funkcji i funkcji sin(t) otrzymamy:
Z powyższego równania obliczamy , wykonując proste przekształcenia algebraiczne (i w tym tkwi siła tej metody, że równanie różniczkowe jest zamieniane z pomocą transformaty Laplace'a na proste równanie algebraiczne)
Po rozbiciu na ułamki proste mamy:
Aby znaleźć funkcję pierwotną należałoby wykonać transformatę odwrotną Laplace'a na powyższym równaniu.